aGraph

Programm zum Abbilden und Analysieren von Funktionen.




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MÖGLICHKEITEN:


BEDIENUNG:

Symbol Funktion
Öffnet das Panel 'Einstellungen'.
Öffnet die Einstellungen. Wischbewegeungen nach oben / unten um die gewünschte Einstellung zu finden. Auswählen. Je nach Einstellung verändern.
Öffnet die Einstellungen für 'Arbeiten mit - Gebildet von'. Zusätzliche Anzeigenkontrolle für Ableitungen, Gitter, Berechnungsergebnissen etc.
Anzeige der aktuellen Berechnungsergebnissen. Dadurch kann man einzelne Werte bei Bedarf herauskopieren.
Dazu ist es möglich detaillierten Reports für die Berechnungen zu erstellen.
Erstellt und zeigt vollständige Wertetabelle für die Funktionen im HTML Format an. Dies kann etwas dauern, für diese Zeit wird ein Ladebalken angezeigt.
Erstellt und zeigt aktuellen Report im HTML Format an. Falls die Berechtigung 'Speichern' erteilt wurde wird auch automatisch gespeichert.
Erzeugt ein Bildschirmfoto
Öffnet das Panel 'Anfassen'.
Bewegen des Koordinatensystems in der gewünschten Richtung
Zentriert das Achsensystem
Gleichzeitiges Bewegen beider Funktionen nach oben / unten
Bewegen von F(X) nach oben / unten
Bewegen von G(X) nach oben / unten
Methode zur Schnittpunktbestimmung einstellen (für die Festlegung der Grenzen durch berühren und ziehen)
Berühren und ziehen um die Untergrenze mit Hilfe der voreingestellen Methode für Schnittpunktbestimmung zu setzen
Berühren und ziehen um die Oberergrenze mit Hilfe der voreingestellen Methode für Schnittpunktbestimmung zu setzen


LIZENZ:
aGraph ist Freeware.
aGraph wird im folgenden als Software bezeichnet.

GARANTIENAUSSCHLUSS:
Diese Software wird geliefert wie sie ist, ohne irgendwelche ausdrückliche oder inbegriffene
Garantie. Wir machen darauf aufmerksam, dass es nach dem Stand der Technik nicht
möglich ist, Computersoftware zu erstellen, die unter allen Hard- und Software
Kombinationen fehlerfrei arbeitet. Der Nutzer der Software trägt selbst jedes Risiko.
Der Autor haftet nicht für Datenverluste, finanzielle Verluste, Beschädigungen oder andere
Verluste die mit dem Gebrauch oder Missbrauch der Software in Zusammenhang stehen.

VERTEILUNG:
Die Software darf frei verteilt werden, vorausgesetzt die Datei wird unverändert und
intakt weitergegeben. Sie dürfen keine Gebühr für aGraph erheben.
Copyright © 2016 Emil Tchekov. All rights reserved.

emil@tchekov.net

Mathematische Hintergründe


aGraph benutzt zwei Näherungsverfahren die ich nur Oberflächlich zu Erläutern versuche. Tiefergehende Informationen werden Sie in alle gute Mathematikbücher finden. Dieser Text dient nur zur Erweiterung des aGraph Bedienungsanleitung, weitergehende Zwecke sind nicht Beabsichtigt.



Regula Falsi

Der sog. Falsche Regel (Sekantenverfahren) ist ein Verfahren zur Ermittlung von Schnittpunkten (und somit für Lösen von Gleichungen geeignet).

Gesucht wird der x-Wert bei der F(x)=0 (Schnittpunkt von F(x) und die X-Achse).

F(x) wird durch die Sekante ersetzt, die Formel:

,

liefert uns ein Näherungswert (der Schnittpunkt der Sekante mit der X- Achse). Dann müssen wir der Verfahren oft genug mit der Werten X1 und X3 oder X2 und X3 wiederholen (bei aGraph 100 mal, oder bis F(X1)=F(X3) um ein Wert zu bekommen der sehr Nah an der Tatsächlichen liegt.

Die Näherung ist für dir Alltägliche Zwecken ausreichend, Mathematisch ist sie aber nicht Richtig. Dieser Verfahren funktioniert nur wenn einige Grundvoraussetzungen gegeben sind - für weitere Infos schlagen Sie bitte in die entsprechende Bücher nach.

aGraph Beispiel: Gesucht wird die 1. Lösung der Gleichung sin(x)=1/x-1, also geben wir für f(x) sin(x) und für g(x) 1/x-1. Zuerst wollen wir etwas überblick bekommen und schauen uns die Zeichnung an, klicken etwas links von der 1. Schnittpunkt (die 1. Lösung) an, der Wert (0.5875) nehmen wir für die Untergrenze, als Obergrenze wählen wir 1 (genauer wäre wenn wir noch mal die Zeichnung aufrufen um diesmal rechts von der Schnittpunkt anzuklicken, um ein Wert für die Obergrenze zu erhalten). Dann sind wir soweit und können Regula Falsi aufrufen - s.u.



Numerische Integration nach Thomas Simpson

Die Verfahren zur Numerische Ermittlung von Fläche unter Funktion (Integration) beruhen auf derselben Grundprinzip: Die Fläche wird in mehrere Teilflächen (Streifen) geteilt, die Teilflächen werden ermittelt und anschließend summiert.

Da das Simpson Verfahren als Oberbegrenzung der Teilflächen Parabel benutzt (bei andere Verfahren sind es geraden Linien) liefert dieser bessere Näherungswerte.

Um ein Parabel definieren zu können braucht man mind. 3 Punkte, deshalb werden bei Simpson-Verfahren Doppeltstreifen benutzt.

Zuerst wird die Fläche an geraden Anzahl Teilflächen geteilt (bei aGraph - 100).

Streifenbreite:

Nachfolgend die Streifenbreite h berechnet (ergibt sich nach o.g. Formel aus Unter-, Obergrenzen und der Streifenanzahl n).

Doppelstreifen P0, P1, P2
Koordinaten:
P0 (-h, Y0),
P1 (0, Y1),
P2 (+h, Y2)
Formel für Parabel: Y = a0 + a1x + a2x2 =>
Y0 = a0 - a1h - a2h2
Y1 = a1
Y2 = a0 + a1x + a2x2


Danach werden die drei Summen gebildet (Summe1 = erste + letzte Streifen, Summe2 = Summe der Ungeraden Streifen, Summe3 = Summe der Geraden Streifen).

Dann wird der letzten Formel angewandt und wir erhalten ein Numerischer Näherungswert für die Fläche unter die Funktion.

Beispiel in aGraph: Wie Groß ist die Fläche zwischen der Funktionen sqrt(1-x^2) und -sqrt(1-x^2)?

Zuerst müssen wir die Funktionen in die Oberen beiden Quadranten verschieben sonst bekämen wir verfälschten Werte.

(Die Funktionen sind bis auf unterschiedlichen Vorzeichen gleich, d.h. wenn die eine Unter- und die andere Oberhalb der X-Achse steht werden wir 0 bekommen, obwohl da sichtbar eine Fläche vorhanden ist).

Also wir nehmen stattdessen 1+sqrt(1-x^2) und 1-sqrt(1-x^2) - durch verschieben beider Funktionen oberhalb der X-Achse. Es ist leicht zu erkennen dass wir es mit einer Grundform zu tun haben (Kreis mit r=1), also Untergrenze ist -1, Obergrenze ist 1, die Fläche ist gleich einer Naturkonstante ...p>

Alle weitere auf Integration beruhende Fähigkeiten von aGraph bauen auf das Simpsonsche Verfahren auf.